Из всех предложенных вариантов написания слова «кашляет» выберем этот, как единственно правильный.
Слово «кашляет» произносится с ударным корневым гласным «а»:
По этой причине неясно слышится безударные гласные суффикса и окончания. Какой вариант написания слова, «кашляет», кашлеет» или «кашлиет», выбрать?
Будем рассуждать по порядку. Определим начальную форму глагола — «кашлять».
Неопределённая форма заканчивается на -я-ть, как и ряд аналогичных инфинитивов:
Анализируемое слово не является исключением. Вспомним перечень глаголов-исключений, которые приводятся в статье «Как определить спряжение глагола?»
По конечному -я-ть отнесем его к первому спряжению. Рассматриваемый глагол имеет следующие формы единственного и множественного числа настоящего времени:
Как видим, в формах глагола встретились два безударных гласных, которые обозначают глагольный словообразовательный суффикс -я- и гласный -е-, входящий в личные окончания, что доставляет затруднение в написании всех форм, и в частности слова «кашляет». Но определив, что этот глагол заканчивается на -ять, напишем суффикс неопределенной формы -я-, невзирая на произношение слова.
Стёпушка чихал и кашлял в руку (И.С. Тургенев).
Приставочные однокоренные глаголы «закашлять (ся)», «откашлять (ся)», прокашлять (ся)» не изменяют принадлежность к первому спряжению и пишутся также с безударным суффиксом -я- во всех формах, например:
Зал откашлялся, смолкнул, замер… (С. Орлов).
